引言
因为第一章绪论内容较少，所以将第一章内容与第二章合并
绪论
微波的概念
顾名思义“微波”是波长极短，频率极高的电磁波。在电磁波谱中是介于普通线电波与红外线之间的波段。因此，波长的长与短、频率的高与低都是相对的，在微波波段内部又可划分为分米波、厘米波、毫米波和亚毫米波.
不同频率的电磁波，其传播特性不同，适用场合也不同
从上图可以看出，本课程要学习的微波，频率范围在\(300MHz\sim 3000GHz\),波长范围在\(0.1mm\sim 1dm\)
传输线理论概述
微波传输线及其分类
定义：凡能够引导微波沿一定方向传输的导波装置称为传输线。作用：1.引导微波传输。2. 构成各种微波元器件
分类：根据传输线结构和电磁波的特点可分为：
- TEM波及准TEM波传输线 例如：双导线、同轴线、带状线、微带线
- TE波和TM波传输线 例如：矩形波导、圆波导等
- 表面波传输线 例如：介质波导、介质镜像线等
传输线的性能要求和应用范围：
- 性能要求：工作频带宽；功率容量大；工作稳定性好；损耗小；尺寸小和成本低。
- 应用范围：
- 米波或分米波：双导线、同轴线
- 厘米波：空心金属波导管、带状线、微带线
- 毫米波：空心金属波导管、介质波导、介质镜像线、微带线
传输线理论的研究问题：
- 横向问题：研究电磁波在传输线横截面内电场、磁场的分布规律，即场结构、模、波型。通过求解电磁场的边值问题来解决
- 研究电磁波沿传输线轴向的传播特性和场的分布规律。采用的方法：场的分析方法、路的分析方法。路的分析方法简便、易懂，本章采用路的方法来研究双导线的纵向问题
长线与分布参数电路
长线与短线：如果传输线的几何长度\(L\)与工作波长\(\lambda\)可比拟或\(L>>\lambda\)时，传输线称为长线，否则称为短线，\(\frac{L}{\lambda}\)-电长度，当电长度<0.1,为短线，做集总参数处理(导线无L,R,C,G),反之则为长线，做分布参数电路处理(导线有L,R,C,G)
分析方法
- 场的方法：以E、H为研究对象，从麦克斯韦尔方程出发, 解满足边界条件的波动方程, 得出传输线上电场和磁场的解, 进而研究传输特性的横向分布及纵向传输特性。该方法严格、精确, 但数学计算复杂、繁琐，解析方程求解困难
- 路的方法：在一定的条件下，以U、I为对象，从传输线方程出发, 求出满足边界条件的电压、 电流波动方程的解, 分析电压波和电流波随时间和空间的变化规律,即用电路理论来研究纵向传输特性。本质上是化场为路。该方法有足够的精度, 数学上较为简便, 因此被广泛采用。
传输线（长线）理论就是研究TEM波传输线的分布参数的电路理论
长线方程及其解
长线方程
设位置z处的电压和电流的复振幅分别为\(\dot{U},\dot{I}\),而在位置\(z+dz\)处的电压和电流的复振幅分别为\(\dot{U}+d\dot{U},\dot{I}+d\dot{I}\) 
则有\[\begin{cases}
(\dot{U}+d\dot{U})-\dot{U}=(Rdz+jwLdz)(\dot{I}+d\dot{I})\\
(\dot{I}+d\dot{I})-\dot{I}=(Gdz+jwCdz)\dot{U}
\end{cases}\] 忽略第一式中的高阶微分项,并将dz除到左端，得 \[\begin{cases}
\frac{d\dot{U}}{dz}=(R+jwL)\dot{I}=Z\dot{I},\quad Z=R+jwL\\
\frac{d\dot{I}}{dz}=(R+jwC)\dot{U}=Y\dot{U},\quad Y=G+jwC\\
\end{cases}\]
这就是均匀传输线方程，也称为长线方程
长线方程的解
求解上一小节提到的长线方程，可得长线方程的解为 \[\begin{cases} \dot{U}(z)=A_1e^{\gamma z}+A_2e^{-\gamma z}\\ \dot{I}(z)=\frac{1}{Z_0}(A_1e^{\gamma z}-A_2e^{-\gamma z})\\ \end{cases}\] 式中，第1项表示向负z方向传播的波，第2项表示向正z方向传播的波。A1和A2则分别表示向负z和正z方向传输的波的复振幅，它们是待定的积分常数，取决于传输线的负载端或源端的边界条件.\(Z_0=\frac{Z}{Y}\)(特性阻抗),\(\gamma=\sqrt{ZY}=\alpha+j\beta\)(传播常数)
边界条件通常有以下三种： 1. 已知负载端电压,电流\(\dot{U_L},\dot{I_L}\) 2. 已知源端电压,电流\(\dot{U_g},\dot{I_g}\) 3. 已知信源电动势，内阻电压,负载阻抗\(E_g,Z_g,Z_L\)
这里仅讨论第一种情况：
\(\because \dot{U}(0)=\dot{U_L}=A_1+A_2\\\quad\dot{I}(0)=\dot{I}(L)=\frac{1}{Z_0}(A_1-A_2)\) 联立即可求出\(A_1,A_2\)，进而解出整个方程
在微波波段，若传输线所用导体为良导体，且媒质是低损耗的，则有\(R<<wL,G<<wC\),故可认为\(R=G=0\)，则此传输线为均匀无耗线。均匀无耗线是本章讨论的重点
故在长线方程求解过程中，用到的参数\(\gamma,Z_0\)可化简为 \[\gamma=j\beta,\beta=w\sqrt{LC}\\Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}\]
因此均匀无耗传输线上的电压，电流为 \[\begin{cases} \dot{U(z)}=\dot{U_L}cos\beta z+j\dot{I_L}Z_0sin\beta z\\ \dot{I(z)}=\dot{I_L}cos\beta z+j\frac{\dot{U_L}}{Z_0}sin\beta z \end{cases}\]
解的物理意义
电压和电流均可表示为入射波和反射波的叠加，且都是行波（波的传播过程中只有相位的变化，而无幅度的变化），两个行波之和不一定是行波
长线的参量
特性参量
指由长线的结构、尺寸、填充的媒质及工作频率决定的参量。（和负载无关），主要包括特性阻抗\(Z_0\),传播常数\(\gamma\),相速\(V_p\),波长\(\lambda\)
- 特性阻抗\(Z_0\) 将传输线上行波电压与行波电流之比定义为传输线的特性阻抗,亦即入射波电压与电流复量之比或反射波电压与电流复量之比的负值，用\(Z_0\)来表示, 其倒数称为特性导纳, 用\(Y_0\)来表示。根据定义有\(Z_0=\frac{U^+(z)}{I^+(z)}=\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R+jwL}{G+jwC}}\)。可见特性阻抗\(Z_0\)通常是个复数, 且与工作频率有关。 它由传输线填充的介质、线的横向尺寸和横截面内电磁场的分布状态决定而与线长度、负载及信源无关, 故称为特性阻抗。 对于无耗均匀传输线,\(Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}\),纯电阻，与频率无关
- 传播常数\(\gamma\) 传播常数\(\gamma\)是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中衰减和相移的参数,\(\gamma=\sqrt{ZY}=\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}=\alpha+j\beta\),对于均匀无耗传输线，有\(\gamma=jw\sqrt{LC}=j\beta\)
- 相速\(V_p\)和工作波长\(\lambda\) 传输线上的相速定义为行波等相位面沿传输方向的传播速度, 用\(v_p=\frac{w}{\beta}\)表示，对于无耗传输线\(\beta=w\sqrt{LC},\therefore v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}\) 传输线的工作波长定义为：同一时刻，线上行波相位相差2π的两点间的距离，用λ表示 \(\lambda=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{w\sqrt{LC}}=\frac{v_p}{f}\) 对于均匀无耗传输线来说, 由于β与ω成线性关系, 故导行波的相速与频率无关, 也称为无色散波。当传输线有损耗时, β不再与ω成线性关系, 使相速\(v_p\)与频率\(f\)有关,这就称为色散特性
工作参量
与长线终端负载有关的参量，主要包括输入阻抗，反射系数，驻波比
输入阻抗Z(z) 输入阻抗Z(z)定义：传输线上任意位置处的总电压与总电流复量之比，称为该处的输入阻抗\(Z_{in}\)，即从该位置朝负载方向看去的等效阻抗。推导得出\(Z(z)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta z}{Z_0+jZ_Ltan\beta z}\) 上式表明: 均匀无耗传输线上任意一点的输入阻抗与该点的位置、传输线的特性阻抗、终端负载阻抗及工作频率有关
输入阻抗表达式有多种变形
- \[if\qquad d=n\lambda/2(n=1,2,3,\dots)\\\because\beta d=n\pi,\therefore Z(z+d)=Z(z)\] 可见均匀无耗线上的阻抗具有\(\lambda/2\)周期性
- \[if\qquad d=(2n-1)\lambda/4(n=1,2,3,\dots)\\\because\beta d=(2n-1)\pi/2,\therefore Z(z+d)Z(z)=Z_0^2\] 可见均匀无耗线上的阻抗具有\(\lambda/4\)变换性 \[感性\leftrightarrow容性\\大于Z_0的电阻\leftrightarrow小于Z_0的电阻\\开路\leftrightarrow短路\]
- 当终端负载\(Z_L=Z_0\)，即终端接有匹配负载时，传输线任意位置输入阻抗等于\(Z_0\),与传输线无限长等效，只有入射波无反射波，行波状态，阻抗匹配
（电压）反射系数\(\Gamma(z)\)
- 定义：传输线上任意一点z处的反射波电压与入射波电压之比为电压反射系数，记为\(\Gamma(z)=\frac{U^-(z)}{U^+(z)}\),若为无耗传输线，则其任一位置上的反射系数为\(\Gamma(z)=\frac{U^-(z)}{U^+(z)}=\Gamma_Le^{-j2\beta z},\Gamma_L=\frac{U_L^-}{U_L^+}=|\Gamma_L|e^{j\psi_L},0\le|\Gamma_L|\le1\qquad -\pi\le\psi_L\le\pi,\\\therefore \Gamma(z)=|\Gamma_L|e^{j\psi},0\le|\Gamma|\le1,\psi=\psi_L-2\beta z\)
- 无耗传输线上\(Z(z)\)与\(\Gamma(z)\)的关系 \[Z(z)=Z_0\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}\quad or \quad\Gamma(z)=\frac{Z(z)-Z_0}{Z(z)+Z_0}\\\therefore \Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}\] 可见\(Z(z)与\Gamma(z)\)具有相同的周期\(\lambda/2\)
驻波比\(\rho\)与行波比\(k\)
- 驻波比：传输线上最大电压（或者电流）振幅值与最小电压（或电流）振幅值之比，称为驻波比，记为\(\rho=\frac{|\dot{U}|_{max}}{|\dot{U}|_{min}}\) \[\because \Gamma(z)=|\Gamma_L|e^{j(\psi_L-2\beta z)}且\dot{U}=U^+(1+\Gamma)=U_L^+e^{j\beta z}(1+\Gamma(z))\\\therefore \dot{U}=U_L^+e^{j\beta z}(1+|\Gamma|e^{j(\psi_L-2\beta z)})\]对上式求U的模可以看出,当\(2\beta z-\psi_L=2n\pi\)时,\(n=0,1,2...\),\(|\dot{U}_{max}|=|U_L^+|(1+|\Gamma|)\),当\(2\beta z-\psi_L=(2n+1)\pi\)时,\(n=0,1,2...\),\(|\dot{U}_{min}|=|U_L^+|(1-|\Gamma|)\),进一步化简有\(\rho=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|},1\le\rho\le\infty,|\Gamma|=\frac{\rho-1}{\rho+1}\)
- 行波比：\(K=\frac{|\dot{U}|_{min}}{|\dot{U}|_{max}}=\frac{1}{\rho},0\le k\le1\)
均匀无耗线的工作状态的分析
对于无耗传输线, 负载阻抗不同则波的反射也不同; 反射波不同则合成波不同; 合成波的不同意味着传输线有不同的工作状态。根据终端负载的情况, 无耗传输线有三种工作状态:行波状态，驻波状态，行驻波状态，下面将分别讨论
行波状态
当传输线是无限长，或其终端接有等于传输线的特性阻抗的负载时，信号源传向负载的能量将被负载完全吸收，而无反射，此时称传输线工作于行波状态。这时候也称传输线与负载处于匹配状态，即\(Z_L=Z_0\)，终端匹配，无反射。
电压及电流 \[\because U^-=I^-=0\\\therefore\begin{cases} \dot{U}(z)=\dot{U_L^+}e^{j\beta z}\\ \dot{I}(z)=\dot{I_L^+}e^{j\beta z}\\ \end{cases}\] 可见传输线上只有入射行波,行波状态下，均匀无耗线上各点电压复振幅的值是相同的，各点电流复振幅的值也是相同的，不随z而变化，只是U及I的相位随z的减少而滞后,线上任一处的U和I同相位，即它们的瞬时值是同相的
工作参量 \[Z(z)=Z_L=Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}\\\Gamma(z)=0,\rho=1,k=1\]
驻波状态
当传输线终端是短路、开路，或接有纯电抗性（电感性或电容性）负载时，由于负载不吸收能量，因而，从信号源传向负载的入射波在终端产生全反射，线上的入射波与反射波相叠加，从而形成了纯驻波状态，即\(Z_L=0,\infty,\pm jX\)时，负载不吸收能量，终端全反射，线上纯驻波
终端短路
- 电压及电流 \[\because \dot{U_L}=0,\therefore\begin{cases} \dot{U}(z)=j\dot{I_L}Z_0sin\beta z\\ \dot{I}(z)=\dot{I_L}Z_0cos\beta z\\ \end{cases}\\\because \dot{U_L^+}=\frac{\dot{U_L}+\dot{I_L}Z_0}{2},\dot{U_L}=0,\therefore \dot{I_L}=2\dot{I_L^+}\\\therefore\begin{cases} u(z,t)=2|\dot{U_L^+}|sin\beta zcos(wt+\psi+\pi/2)\\ i(z,t)=2|\dot{I_L^+}|cos\beta zcos(wt+\psi) \end{cases}\] 由此可知，电压电流在时间相位与空间分布上相差\(\pi/2\)，z相差\(\frac{\lambda}{4}\),当\(\beta z=n\pi\)时，即\(z=\frac{n\pi}{\beta}=\frac{n\lambda}{2}(n=0,1,2,...)\),为电压驻波波节点，电流驻波波腹点；当\(\beta z=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)时，即\(z=(2n+1)\frac{\pi}{2\beta}=(2n+1)\frac{\lambda}{4}(n=0,1,2,...)\),为电压驻波波腹点，电流驻波波节点
- 工作参量
- \(Z(z)=jZ_0tan\beta z\)，纯电抗
- \(\Gamma(z)=-e^{-j2\beta z},|\Gamma_L|=1,\psi_L=-\pi\)
- \(\rho=\infty,k=0\)
- 当\(\beta z\)在第\(1,3,5....\times \frac{\pi}{2}\)的范围内,即\(z\)为\(1,3,5....\times \frac{\lambda}{4}\)范围内，\(Z(z)\)为纯感抗。当\(\beta z\)在第\(2,4,6....\times \frac{\pi}{2}\)的范围内,即\(z\)为\(2,4,6....\times \frac{\lambda}{4}\)范围内，\(Z(z)\)为纯容抗，在\(\beta z=(2n+1)\frac{\pi}{2},z=(2n+1)\frac{\lambda}{4}\)时，\(Z(z)=\infty\),为并联谐振，在\(\beta z=n\pi,z=n\frac{\lambda}{2}\)时，\(Z(z)=0\),为串联谐振
终端开路
- 电压及电流 \[\because\dot{I_L}=0,\therefore \begin{cases} \dot{U}(z)=2\dot{U_L^+}Z_0cos\beta z\\ \dot{I}(z)=j2\dot{I_L^+}Z_0sin\beta z\\ \end{cases}\] \(z=\frac{n\pi}{\beta}=\frac{n\lambda}{2}(n=0,1,2,...)\),为电压波腹点，电流波节点；当\(\beta z=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)时，即\(z=(2n+1)\frac{\pi}{2\beta}=(2n+1)\frac{\lambda}{4}(n=0,1,2,...)\),为电压驻波波节点，电流驻波波腹点 实际上终端开口的传输线并不是开路传输线, 因为在开口处会有辐射，理想的终端开路线是在终端开口处接上λ/4短路线来实现的。
- 工作参量
- \(Z(z)=-jZ_0cot\beta z\)，纯电抗
- \(\Gamma(z)=e^{-j2\beta z},|\Gamma_L|=1,\psi_L=0\)
- \(\rho=\infty,k=0\)
- 当\(\beta z\)在第\(1,3,5....\times \frac{\pi}{2}\)的范围内,即\(z\)为\(1,3,5....\times \frac{\lambda}{4}\)范围内，\(Z(z)\)为纯容抗。当\(\beta z\)在第\(2,4,6....\times \frac{\pi}{2}\)的范围内,即\(z\)为\(2,4,6....\times \frac{\lambda}{4}\)范围内，\(Z(z)\)为纯感抗，在\(\beta z=(2n+1)\frac{\pi}{2},z=(2n+1)\frac{\lambda}{4}\)时，\(Z(z)=0\),为串联谐振，在\(\beta z=n\pi,z=n\frac{\lambda}{2}\)时，\(Z(z)=\infty\),为并联谐振
终端接纯电抗(\(Z_L=\pm jX\))
纯电抗性负载是指传输线终端接有纯电感性或纯电容性负载时的情况,因为一段长为\(l(0<l<\lambda/4)\)的终端短路线或开路线的输入阻抗为\(\pm jX\),所以可用一段长为\(l\)的终端短路线或开路线等效代替,该方法称为延长线段法 1. 当\(Z_L=+jX\)时，延长线段为\(l_e\)的短路线\(\because jZ_0tan\beta l_e=+jX,\therefore l_e=\frac{\lambda}{2\pi}tan^{-1}(\frac{X}{Z_0})(0<l_e<\lambda/4)\) 2. 当\(Z_L=-jX\)时，延长线段为\(l_c\)的开路线\(\because -jZ_0cot\beta l_c=-jX,\therefore l_c=\frac{\lambda}{2\pi}cot^{-1}(\frac{X}{Z_0})(0<l_c<\lambda/4)\) 根据上面分析，终端接有纯电抗性负载的传输线，其上的电压、电流和输入阻抗也呈纯驻波状态。终端既不是电压的节腹点，也不是电流的节腹点,且当负载为纯电感时，距负载最近的为电压波腹点，负载为纯电容时，距负载最近的为电压波节点 3. 工作参量 \(\Gamma_L=\frac{\pm jX-Z_0}{\pm jX+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\psi_{\Gamma_L}},|\Gamma_L|=1,\psi_{\Gamma_L}=arctan(\frac{\pm2XZ_0}{X^2-Z_0^2}),\rho=\infty,K=0\),其终端处的反射系数不再是-1或+1，而是一个带有初相角的复数
行驻波状态
若传输线终端接有复数阻抗\(Z_L=R\pm jX\)，或实数阻抗\(Z_L=R\neq Z_0\)，此时，入射波能量一部分被负载吸收，剩余的能量反射回源。故线上为驻波与行波的迭加，即为行驻波状态。
电压及电流 \[|\dot{U}(z)|=|\dot{U_L^+}|\sqrt{1+|\Gamma_L|^2+2|\Gamma_L|cos(\psi_L-2\beta z)}\\|\dot{I}(z)|=|\dot{I_L^+}|\sqrt{1+|\Gamma_L|^2-2|\Gamma_L|cos(\psi_L-2\beta z)}\] 当\(\psi_L-2\beta z=-2n\pi,z=\frac{\psi_L\lambda}{4\pi}+\frac{n\lambda}{2}\),\(|\dot{U}(z)|\)具有最大值\(|\dot{U}_L^+|(1+|\Gamma_L|)\),\(|\dot{I}(z)|\)具有最小值\(|\dot{I}_L^+|(1-|\Gamma_L|)\),当\(\psi_L-2\beta z=-(2n+1)\pi,z=\frac{\psi_L\lambda}{4\pi}+\frac{(2n+1)\lambda}{4}\),\(|\dot{U}(z)|\)具有最小值\(|\dot{U}_L^+|(1-|\Gamma_L|)\),\(|\dot{I}(z)|\)具有最大值\(|\dot{I}_L^+|(1+|\Gamma_L|)\)
可见：行驻波状态传输线上电压与电流节腹点的分布规律与驻波状态时一样，节点与腹点相距λ/4，而且传输线上电压的腹点即电流的节点，电压的节点即电流的腹点。但不同的是：
- \(Z_L=R\neq Z_0\)时，终端为节腹点，\(Z_L=R>Z_0\),则\(z=0\)处是电压腹点，电流节点，\(Z_L=R<Z_0\),则\(z=0\)处是电压节点，电流腹点
- \(Z_L=R\pm jX\)时，\(\psi_l=arctan(\frac{\pm2XZ_0}{R^2+X^2-Z_0^2})\),对应的分别为感性/容性复阻抗，离开终端第一个出现的时电压腹/节点
工作参量
- \(Z(z)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta z}{Z_0+jZ_Ltan\beta z}=Z_0\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}\)
- \(\Gamma(z)=|\Gamma_L|e^{j(\psi_L-2\beta z)}=\frac{Z(z)-Z_0}{Z(z)+Z_0}\)
- \(\rho=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|},1<\rho<\infty\)
- 在电压腹点(电流节点)有\(Z=\rho Z_0=R_{max}\),在电压节点(电流腹点)有\(Z=KZ_0=R_{min}\),进一步有\(R_{min}R_{max}=Z_0^2\)
沿线阻抗分布特点
- 沿线阻抗周期性变化。在波腹、波节点处，阻抗呈现阻性（X = 0），阻抗变化周期为λ/2。在电压腹点处，阻抗出现最大值，且为纯电阻，相当于并联谐振，在电压节点处，阻抗出现最小值，且为纯电阻，相当于串联谐振。
- 每隔λ/4，阻抗性质变换一次，即具有“λ/4阻抗变换特性”
- 每隔λ/2，阻抗性质重复一次，即具有“λ/2抗重复特性”。因此，长度为λ/2或其整数倍时，不论终端接什么样的负载，其输入阻抗都和负载阻抗相等。
史密斯圆图
史密斯圆图是一种微波工程中最常用的图形工具，把特征参数和工作参数形成一体，采用图解法解决的一种专用Chart
阻抗圆图
原理
在传输线问题的计算中常涉及要找出输入阻抗和反射系数的关系，我们可以将二者间的关系式绘制成曲线图，用图解的方法进行运算，则可以使计算大为简化。由于这些曲线实际上是一些圆，故名圆图.
定义： \(\frac{Z(z)}{Z_0}=Z'(z)=R'(z)+jX'(z),Z'：归一化阻抗，R'：归一化电阻，X'：归一化电抗\),所以有\(Z'(z)=\frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)}\qquad\Gamma(z)=\frac{Z'(z)-1}{Z'(z)+1}\)
由于均匀无耗线上任一点的归一化阻抗与该点的反射系数具有一一对应的关系，因此可以将归一化阻抗实部及虚部的等值线画在以极坐标表示的反射系数的复平面上，这样构成的图形称为阻抗圆图。
圆图的反射系数
\[\Gamma(z)=\Gamma_Le^{-j2\beta z}=|\Gamma_L|e^{j(\psi_L-2\beta z)}=|\Gamma_L|e^{j\psi}\] \(|\Gamma|=\)常数的曲线为一系列的同心圆簇，称为等\(|\Gamma|\)圆，由于\(|\Gamma|=\frac{\rho+1}{\rho-1}\)，所以在圆图上不画出等\(|\Gamma|\)圆，只是在图中横轴上标出对应于\(|\Gamma|\)的\(\rho\)值(右半横轴)和K值(左半横轴)，\(\psi=\)常数的曲线为一系列的径向射线簇，称为等\(\psi\)线，在圆图上也不画出，而是在单位圆上标出,上半圆\(0\le\psi\le180^{\circ}\),下半圆\(-180^{\circ}\le\psi\le0\),且\(\psi=\psi_L-2\beta z=\psi_L-4\pi(\frac{z}{\lambda})\),故\(\psi\)的变化对应线上电长度的变化 
圆图上的归一化阻抗
\[\because Z'(z)=R'(z)+jX'(z)=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma},\Gamma=\Gamma_r+j\Gamma_i\\\therefore (\Gamma_r-\frac{R'}{1+R'})^2+\Gamma_i^2=(\frac{1}{1+R'})^2\\(\Gamma_r-1)^2+(\Gamma_i-\frac{1}{X'})=(\frac{1}{X'})^2\] 以上两方程为\(\Gamma_r+j\Gamma_i\)平面上的等\(R'\)圆簇，等\(X'\)圆簇
- 等R′圆簇为R′＝常数时在\(\Gamma\)平面上的圆簇,圆心坐标为\((\Gamma_r=\frac{R'}{1+R'},0),\)半径为\(\frac{1}{1+R'}\);可发现：
- 所有等R′圆的圆心都在横轴上；
- \(\Gamma_r\)与半径之和恒为1。故所有的等R′圆都相切于点（1，0）；
- 因为R>0,所以所有的等R′圆都在单位圆内。其中单位圆： R′=0; 点(1,0), R′=\(\infty\)
- 等X′圆簇为X′＝常数时在\(\Gamma\)平面上的圆簇,圆心坐标为\((\Gamma_r=1,\Gamma_i=\frac{1}{X'})\),半径为\(\frac{1}{X'}\);可发现：
- 所有等R′圆的圆心都在\(\Gamma_r=1\)上；
- 圆心纵坐标大小恒等于半径。故所有的等X′圆都相切于点（1，0）；
- 当X'>0,等X'圆在上半平面，当X'<0,等X'圆在下半平面，当X'=0,等X'圆在横轴，当X'=\(\infty\),等X'圆为点(1,0)
- 等X′圆的X′值直接标在图上，等R'圆的R'值直接由其与横轴交点处读取，又因为右半横轴对应\(\psi=0,\Gamma=|\Gamma|,\therefore Z'=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\rho\rightarrow R'=\rho\),又因为左半横轴对应\(\psi=180^{\circ},\Gamma=-|\Gamma|,\therefore Z'=\frac{1-|\Gamma|}{1+|\Gamma|}=K\rightarrow R'=K\)
意义
- 三个特殊点
- 坐标原点O，\(Z'=R'=1,X'=0,\Gamma=0,\rho=K=1\)代表了线上的行波工作状态，称为匹配点
- 横轴右端点，\(R'=X'=\infty,Z=\infty,\Gamma=1,\psi=0^{\circ},\rho=\infty\)代表线上的开路处，称为开路点
- 横轴的左端点,\(R'=X'=Z'=0,\Gamma=-1,\psi=180^{\circ},\rho=\infty\)代表线上的短路处，称为短路点
- 三条特殊线
- 右半横轴（不包括两端点）:\(1<R'=\rho<\infty,X'=0,Z'=R',\Gamma=|\Gamma|,\psi=0^{\circ}\)代表行驻波状态的电压腹点，电流节点。称为电压波腹线
- 左半横轴（不包括两端点）:\(0<R'=K<1,X'=0,Z'=R',\Gamma=-|\Gamma|,\psi=180^{\circ}\)代表行驻波状态的电压节点，电流腹点。称为电压波节线
- 单位圆:\(R'=0,Z'=\pm jX',|\Gamma|=1\)代表线上全驻波状态时节腹点之间的线段,半圆周\(\frac{\lambda}{4}\)
- 两个半平面
- 上半平面， X′>0，电抗是感性，为感性平面
- 下半平面， X′<0，电抗是容性，为容性平面
- 代表线上为行驻波状态时，节腹点之间的各\(\lambda/4\)的线段
- 两个旋转方向
- 向电源:从负载移向信号源，圆图上顺时针方向旋转,z 增加
- 向负载: 从信号源移向负载，圆图上逆时针方向旋转, z减小
导纳圆图
导纳圆图为阻抗圆图旋转\(180^{\circ}\)所得，一般应用时圆图时不对圆图做旋转，而是将阻抗点旋转\(180^{\circ}\)得到其导纳值 
长线的阻抗匹配
阻抗匹配的概念
阻抗匹配通常包含两个方面的含义：1. 如何才能使得负载从信号源得到最大的功率。2. 如何才能消除传输线上的反射波。对于均匀无耗线来说，一般有三种阻抗匹配状态，对应传输线上三种不同的状态。1. 负载阻抗匹配：\(Z_L=Z_0\)：行波匹配，传输线上只有从信号源到负载的入射波而无反射波。2. 源阻抗匹配：\(Z_g=Z_0\)，传输线和信号源是匹配的，这种信号源称为“匹配源”，即使负载阻抗不匹配，负载的反射波也将被匹配源所吸收，始端不再产生新的反射。3. 源共轭匹配: \(Z_{in}=Z_g^*\)--信号源输出功率最大
阻抗匹配的重要性
- 信号源共轭匹配时，信号源可以输出最大功率
- 尽量使传输系统处于或接近行波状态是很必要的，此时匹配负载可以从匹配源输出功率中吸收最大功率，传输线中的功率损耗最小、传输效率最高，传输线功率容量最大，行波状态时信号源工作稳定
阻抗匹配的方法
阻抗匹配：\(Z_L=Z_0、Z_g=Z_0、Z_{in}=Z_g^*\):只有当三者相等且都为纯电阻时，才能同时实现匹配,但\(Z_g,Z_L\)一般为复阻抗，无耗传输线\(Z_0\)为纯阻抗，很难同时满足匹配，为实现匹配，一般在信号源和终端负载处加始端和终端匹配装置，本节着重讨论负载阻抗匹配的方法
负载阻抗匹配的方法从频率上可划分为窄带匹配和宽带匹配，从实现手段上可划分为\(\lambda/4\)阻抗变换器法和支节调配法(利用并联/串联电抗性元件进行匹配)
\(\lambda/4\)阻抗变换器法
原理：利用\(\lambda/4\)传输线的阻抗变化作用,\(Z_{in}(l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan\beta l}{Z_0+jZ_Ltan\beta l}\overset{l=\lambda/4}{\rightarrow} Z_{in}(l=\lambda/4)=\frac{Z_0^2}{Z_L}\) 1. 负载阻抗\(Z_L=R_L\neq Z_0\)为纯电阻时,在终端与主传输线（特性阻抗为\(Z_0\)）之间串联一段长为\(\lambda/4\),特性阻抗为\(Z_{01}\)的传输线，为实现匹配，\(Z_{in}=Z_0\rightarrow Z_{01}=\sqrt{Z_0Z_L}\) 2. 负载阻抗\(Z_L\)＝\(R_L+jX_L\)为复阻抗时,若仍利用λ/4线进行阻抗匹配，则需先变换为实阻抗。 1. 法1：将λ/4线接于主传输线中的电压波节点或波腹点处 \(\because\) 电压波节点或波腹点处，\(Z_{in}=Z_0/\rho\)或\(Z_{in}=\rho Z_0\)为纯电阻 2. 法2：将λ/4线仍接在终端，但在终端再并联长为l的短路线等。确定长度l：使特性阻抗为\(Z_{02}\)，长度为l的短路线的输入导纳等于\(-jB_L\)，抵消负载中的电纳部分\(jB_L\)，使终端等效负载为纯电阻性的 以上方法只能调配一个频率点，属于窄带阻抗匹配 
利用并联电抗性元件进行匹配的支节调配器
支节调配器法：在主传输线上某位置并联或串联长度可调的 短路线（或开路线）进行阻抗调配的方法。它是通过附加反射来抵消传输线上原存在的反射波达到匹配的目的。常用并联电抗性元件的方法
支节调配器：是由距离负载的某位置上的并联或串联终端短路或开路的传输线（又称支节）构成的。支节数可以是一条、两条、三条或更多。 讨论 (1)单株线调配器、(2)双株线调配器、(3)三株线调配器
单株线调配器 在主传输线上距负载d处，并联一长度为l的短路（或开路）支节，d，l可调节 工作原理：1. 在距离负载d（d<λ/2）处的线上总可以找到归一化导纳为\(y_1=1+jb_1\)的点(由此可确定d)；2. 在该处并联一个归一化电纳\(y_2=-jb_1\)(由此可确定l),可实现与主传输线的匹配，\(y=y_1+y_2=1\)
理论上：若d在λ/2范围内可变化，B2可在\(\pm\infty\)间任意调节,则可对任何有耗负载进行调配。缺点：窄频带匹配，当工作频率变化时，d和l都需重新调节，负载不同，d和l都需要改变双株线调配器 距负载两个固定的位置处各并联一个短路线（或开路线）支节，固定\(d_1,d_2\)，\(d_2\)一般取λ/8,λ/4或3λ/8，但不能选λ/2(否则相当于一个固定位置的单支节),调节\(l_1,l_2\)
缺点：窄带，存在死区，某些情况得不到匹配，只适用于匹配由负载产生的驻波比较小的传输线系统三株线调配器 距负载三个固定的位置处，各并联一个短路线（或开路线）支节，主要用于缓解双株线调配器的死区问题