前言
第八章知识点较少，将其与第九章合并，本知识小结只针对华中科技大学电子信息与通信学院课程《通信原理》进行总结，不保证满足所有读者需求
第八章：新型数字带通调制技术
8.1 正交振幅调制
正交振幅调制(QAM)是一种振幅与相位联合键控的数字调制技术，宽带通信采用高阶调制的原因是因为在有限带宽下增大M能提升频带利用率，所以要想在有限带宽下实现高速率通信，必须采用高阶调制，高阶调制采用QAM的原因是因为如果简单的采用MPSK，在信号幅度相等即概率相等的条件下，进制数M增加，星座图相邻信号点的距离减小，意味着在相同噪声条件下，系统误码率增大，而QAM的设计就是通过重新安排信号点的位置，增大相邻信号点的距离 
\[d_1=\frac{\sqrt{2}A_M}{3}=0.47A_M,d_2=2A_Msin(\frac{\pi}{16})=0.39A_M\] 从上式看出\(d_1>d_2\),表明16QAM比16PSK的噪声容限大，抗噪能力强 
在QAM中，其码元可表示为 \[e_k(t)=A_kcos(w_ct+\theta_k),kT_B<t\le(k+1)T_B\\\rightarrow e_k(t)=X_kcosw_ct+Y_ksinw_ct,X_k=A_kcos\theta_k,Y_k=-A_ksin\theta_k\] 这表明MQAM信号可由两路载波正交\(\sqrt{M}\)的ASK信号叠加而成 
由上图可知16QAM编码与星座坐标的关系，如果将四位编码记为\({a_1a_2b_1b_2}\),可知任意相邻两点编码的码距达到最小值；横坐标相同的点，\(a_1a_2\)编码相同;纵坐标相同的点，其\(b_1b_2\)编码相同
16QAM信号调制的原理框图如下图所示 
其产生可大致划分为两种方法
- 正交调幅法：用两路正交的4ASK信号叠加，即可形成16QAM信号
- 复合相移法：用两路独立的QPSK信号叠加，即可形成16QAM信号
16QAM信号的解调往往采用正交相干解调
MQAM信号的谱零点带宽:\(B_{MQAM}=2R_B=\frac{2R_b}{log_2M}\),频带利用率\(\eta_{MQAM}=\frac{R_b}{B}=\frac{1}{2}log_2M(bps/Hz)\)
在实际中，往往需要对转换后的信号进行脉冲成形滤波，以抑制已调信号的带外辐射，滤波器通常采用滚降系数为\(\alpha\)的升余弦滤波器，此时MQAM的带宽可表述为\(B=(1+\alpha)R_B=\frac{(1+\alpha)R_b}{log_2M}\),频带利用率\(\eta_b=\frac{log_2M}{(1+\alpha)}\)
8.2 最小频移键控
最小频移键控MSK是2FSK的改进型，是一种包络恒定，相位连续，带宽最小且严格正交的2FSK信号，使频差最小的目的是为了减小带宽，提高频带利用率，使相位连续的目的是为了实现恒定包络，从而加速带外功率谱密度下降速度
8.3.1 正交2FSK信号的最小频率间隔
有前面的学习，我们知道\(B_{2FSK}=|f_2-f_1|+2f_b\),可见在码元速率不变的时候,\(|f_2-f_1|\)越小越好，单不能无限小，因为在接收端要能区分\(f_1,f_2\)才能正确解调，通常区分的方法有两种，滤波器法和正交法
经过推导可知非相干接收方法下，满足正交条件的最小频率间隔为\((f_1-f_0)_{min}=1/T_B\)，而对于相干接受方法，保证正交的2FSK信号的最小频率间隔为\((f_1-f_0)_{min}=1/2T_B\)
8.3 正交频分复用
8.3.1 概述
由于单载波调制存在高速数据信号的码元持续时间\(T_B\)短，但占用带宽B大，容易产生码间串扰和频率选择性衰落，而多载波调制能通过将信道划分为N个子信道，高速的在N路低速子数据流上串并传输，并分别调制到各子载波上并行传输
OFDM(正交频分复用)就是一种多载波并行调制体制，设计思路是将高速数据流分散到多个子载波上并行传输，从而使各子载波的信号速率大为降低，且因为子信道带宽小于信道相关带宽，意味着每个子信道可以看出平坦性衰落，从而可以消除ISI，提高抗多径和抗衰落能力，缺点是对信道频率偏移和相位噪声非常敏感，信号峰值频率与平均功率比值较大，将会降低射频功率放大器效率，对同步要求严格
8.3.2 OFDM的基本原理
- 表示式：\(e(t)=\sum_{k=0}^{N-1}B_ke^{j(2\pi f_kt+\psi_k)},B_k\)为复数，第k路子信道复输入数据
- 正交条件：只要满足最小子载频间隔为\(\Delta f_{min}=1/T_B\)
- 频域特性：频谱相互重叠，但在一个码元持续时间内正交，即减小子载波间相互干扰又提高了频谱利用率，可按照各个子载波所处频段的信道特性采用不同的调制制度，有很大的灵活性
- 频带利用率：设OFDM系统有N路子载波，子信道码元间隔为\(T_B\)，均采用M进制调制，则其占用的频带宽度为\(B_{OFDM}=\frac{N+1}{T_B}\),频带利用率为\(\eta_{OFDM}=\frac{R_b}{B_{OFDM}}=\frac{N}{N+1}log_2M(bps/Hz)\),当N很大，\(\eta_{OFDM}\approx log_2M(bps/Hz)\),若是单载波，频带利用率为\(\eta_b=\frac{1}{2}log_2M\)，这表明并行OFDM比串行单载波频带利用率大约提高一倍
第九章：数字信号的最佳接收
信道特性不理想与信道噪声等会直接影响接收系统的性能，一个通信系统质量的优劣在很大程度上取决于接收系统的性能
本章节的研究目的就是在噪声的干扰下，如何最佳地接收有用信号，使接受性能达到最优
9.3 确知数字信号的最佳接收机
本节主要是关注构建二进制最佳接收机的原理方框图 
9.4 确知数字信号最佳接收的误码率
推导过程不要求，只研究其误码率公式以及推出的结论 总误码率可表示为\[P_e=P(1)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_\xi}\int_{-\infty}^a e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2_\xi}}dx+P(0)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_\xi}\int_{-\infty}^b e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2_\xi}}dx\] 当先验概率P(0),P(1)有一个为1，一个为0时，总误码率都为0，当先验概率相等为0.5时，a=b,则上式可简化为 \[P_e=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_\xi}\int_{-\infty}^c e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2_\xi}}dx,c=-\frac{1}{2}\int_0^{T_B}[s_0(t)-s_1(t)]^2dt\] 可见：误码率仅和两种码元的波形之差的能量有关，而与波形本身无关，差别越大，c值越小，误码率\(P_e\)也越小
进一步推导有如下表格 
对于多进制通信系统而言，其误码率的计算与二进制类似，每个比特的能量\(E_b=E/log_2M\),每个比特的信噪比\(\frac{E_b}{n_0}=\frac{E}{n_0k}\)
9.7 实际接收机与最佳接收机的性能比较
实际接收机:\(r=\frac{S}{N}=\frac{S}{n_0B}\),最佳接收机:\(\frac{E_b}{n_0}=\frac{ST}{n_0}=\frac{S}{n\frac{1}{T_B}}\)
在S和\(n_0\)相同的条件下，\(r\sim \frac{E_b}{n_0}\rightarrow B\sim \frac{1}{T_B}\)
极限时，\(B=\frac{1}{T_B}\),最佳接收机与实际接收机性能相同，实际上不可能实现，\(B>\frac{1}{T_B}\)，这意味着最佳接收机优于实际接收机的性能
9.8 数字信号的匹配滤波接收法
9.8.1 匹配滤波器的传输特性
匹配滤波器是一种能在抽样时刻上获得最大输出信噪比的线性滤波器，其设计目标是通过设计\(H(w)\)使其输出信噪比\(r_o\)在抽样时刻\(t_0\)有最大值
经过一系列复杂的推导，得出的结论是当且仅当\(H(f)=kS^*(f)e^{-j2\pi ft_0}\)获得最大信噪比\(r_{omax}=\frac{2E}{n_o}\),此时的H(f)即为最佳接收滤波器的传输特性，等于输入信号码元频谱S(f)的复共轭，故称此滤波器为匹配滤波器，此时的\(h(t)=ks(t_0-t)\),这表明h(t)就是输入信号s(t)的镜像s(-t)在时间轴上平移(右移\(t_0\))--通常取\(t_0=T_B\rightarrow h(t)=s(T_B-t)\)
9.8.2 匹配滤波器的输出信号
\(s_o(t)=kR(t-t_0),k=1\rightarrow R(t-t_0)\),当\(t=t_0\)时，\(max[s_o(t)]=s_o(t_0)=R(0)=E\),这意味着匹配滤波器可看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，在上面的讨论中并没有涉及信号的波形，这意味着最大信噪比与信号波形无关，所以匹配滤波接收法对基带数字信号和已调数字信号都适用
9.8.3 匹配滤波形式的最佳接收机
9.9 最佳基带传输系统
9.9.1 理想信道下的最佳基带系统
设理想信道\(C(w)=1\),则系统传输总特性\(H(w)=G_T(w)C(w)G_R(w)=G_T(w)G_R(w)\),最佳化的两个条件，H(w)满足无码间串扰的频域条件，\(\sum_i H(w+\frac{2\pi i}{T_B})=C(常数),|w|\le\frac{\pi}{T_B}\);使系统输出差错概率最小，联立两个条件，可解出\(G_R(w)=H^{1/2}(w),G_T(w)=H^(1/2)(w)\) 
参考资料
- 《通信原理》（第七版）：樊昌信，曹丽娜
- 老师课件